Matematyka | 3-liceum ogólnokształcące i technikum | zakres podstawowy

Cele kształcenia – wymagania ogólne

Rozwiń  

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

1. przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);
2. oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);
3. posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;
4. oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;
5. wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);
6. wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;
7. oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;
8. posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
9. wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).
   

Zakres rozszerzony  

10. wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: $|x – a| = b, |x – a| \lt b, |x – a| \gt b$,
11. stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

II. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1. stosuje wzory skróconego mnożenia: $(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $a^2-b^2$;

Zakres rozszerzony  

2. używa wzorów skróconego mnożenia na $(a+b)^3$, $(a-b)^3$, $a^3+b^3$, $a^3-b^3$;
3. dzieli wielomiany przez dwumian $ax+b$;
4. rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;
5. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;
6. wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;
7. dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne

III. Równania i nierówności. Uczeń:

1. sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierów ności;
2. wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwie ma niewiadomymi;
3. rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;
4. rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;
5. rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;
6. korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu $x^3 = –8$;
7. korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu $x(x + 1)(x – 7) = 0$;
8. rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwa dratowych, np. $\frac{x+1}{x+3}=2$, $\frac{x+1}{x}=2x$;

Zakres rozszerzony  

9. stosuje wzory Viete'a
10. rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;
11. rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;
12. stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian $x – a$;
13. stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;
14. rozwiązuje równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych;
15. rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;
16. rozwiązuje proste nierówności wymierne typu: $\frac{x+1}{x+3}\gt 2$, $\frac{x+3}{x^2-16}\lt \frac{2x}{x^2-4x}$, $\frac{3x-2}{4x-7}\leq \frac{1-3x}{5-4x}$;
17. rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym niż: $||x+1|-2|=3$, $|x+3| +|x-5| \gt 12$

IV. Funkcje. Uczeń:

1. określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;;
2. oblicza ze wzoru wartość funkcji dla da ne go argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do oblicze nia, dla jakiego argumentu funkcja przyj muje daną wartość;
3. odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, roś nie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym prze dziale wartość największą lub najmniejszą);
4. na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = f(x + a)$, $y = f(x) + a$, $y = –f(x)$, $y = f(–x)$;
5. rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;
6. wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;
7. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
8. szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;
9. wyznacza wzór funkcji kwadratowej na pod stawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10. interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);
11. wyznacza wartość najmniejszą i wartość naj większą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
12. wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym);
13. szkicuje wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ dla danego $a$, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi;
14. szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw;
15. posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym.

Zakres rozszerzony  

16. na podstawie wykresu funkcji $y = f(x)$ szkicuje wykresy funkcji $y = |f(x)|$, $y = c f(x)$, $y = f(cx)$;
17. szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw;
18. posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym;
19. szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

V. Ciągi. Uczeń:

1. wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2. bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
3. stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
4. stosuje wzór na $n$-ty wyraz i na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Zakres rozszerzony  

5. wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;
6. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;
7. rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

VI. Trygonometria. Uczeń:

1. wykorzystuje defi nicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°;
2. korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora);
3. oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo - korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);
4. stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi: $\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1$, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ oraz $\sin(90^\circ -\alpha)=\cos\alpha$
5. znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozo stałych funkcji tego samego kąta ostrego.

Zakres rozszerzony  

6. stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i od wrotnie;
7. wykorzystuje defi nicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);
8. wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
9. posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nierówności typu $\sin x \gt a$, $\cos x \leq a$, $\tan x \gt a$);
10. stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;
11. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu $\sin 2x = \frac{1}{2}$, $\sin 2x + \cos x = 1$, $\sin x + \cos x =1$, $\cos 2x \lt \frac{1}{2}$.

VII. Planimetria. Uczeń:

1. stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;
2. korzysta z własności stycznej do okręgu i wła sności okręgów stycznych;
3. rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycz nych) cechy podobieństwa trójkątów;
4. korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

Zakres rozszerzony  

5. stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;
6. stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie od wrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;
7. znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);
8. rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;
9. znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

1. wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);
2. bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;
3. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;
4. oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;
5. wyznacza współrzędne środka odcinka;
6. oblicza odległość dwóch punktów;
7. znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

Zakres rozszerzony  

8. interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności;
9. bada równoległość i prostopadłośćpros tych na podstawie ich równań ogólnych;
10. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt;
11. oblicza odległość punktu od prostej;
12. posługuje się równaniem okręgu $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ oraz opisuje koła za pomocą nierówności;
13. wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;
14. oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;
15. stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

IX. Stereometria. Uczeń:

1. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;
2. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;
3. rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;
4. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;
5. określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
6. stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

Zakres rozszerzony  

7. określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;
8. określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.

X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Uczeń:

1. oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych;
2. zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania;
3. oblicza prawdopodobieństwa w prostych sy tuacjach, stosując klasyczną defi ni cję praw dopodobieństwa.

Zakres rozszerzony  

4. wykorzystuje wzory na liczbę permu tacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych;
5. oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;
6. korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

XI. Rachunek różniczkowy. Uczeń:

Zakres rozszerzony  

1. oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;
2. oblicza pochodne funkcji wymiernych;
3. korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej;
4. korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;
5. znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;
6. stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.